مشتق در ریاضی،معیار تفسیر تک و پوی جهان

حساب دیفرانسیل و انتگرال

شاخه‌ای از ریاضیات که به موضوع تغییرات تابع نظر دارد به زبان انگلیسی calculusنامیده می‌شود

شاخه‌ی از ریاضیات که به بحث تغییرات و توابع وتجزیه تحلیل آن نظر دارد در زبان انگلیسی calculus نامیده می‌شود

این واژه از لاتین اخذ شده و به معنای سنگ‌ریزه است زیرا در عهد باستان رومیان از سنگ‌ریزه روی تخته شمارش‌گر برای عمل جمع و تفریق استفاده می‌کردند. در فارسی آنرا حسابان می‌نامند واین دانش به دو دسته تفکیک گردیده یکی حساب دیفرانسیل و دیگری حساب انتگرال، اگرچه چه مردم عادی در گذران امور روزانه, مثل چهار عمل اصلی ازآن آن استفاده نمی‌کنند ولی هر‌آنچه را استفاده می‌کنند دستاورد این دانش است. حساب دیفرانسیل و انتگرال فی‌الواقع تجزیه‌تحلیل و مدل‌سازی تغییرات درطبیعت است .از دیر‌باز عالمان ازپی کشف رابطه فی‌مابین متغیر ها بودند وبا تحقیقق وتفحص، روابطی را بدست اورده‌ندکه ما آنرا نابع می‌نامیم وبا معادله y= f(x) نشان میدهیم

بی‌قراری در طبیعت

هراکلیتوس¹ فیلسوف دوره پیش از سقراط گفته‌ بود در یک رودخانه بیش از یک بار نمی‌توان شنا کرد و منظورش آن بود که پایداری وثبات در عالم طبیعت وجود ندارد، یعنی مدام هم رودخانه در حال تغییر است و هم شناگر، این تغییرات منحصر به زمان تنها نیست، اگر به پهنه آسمان در غروب آفتاب بنگریم، رنگ‌های زیبا وطلایی ابر‌ها، با انعکاس نور خورشید ،طیف زیبایی را گسترده ‌‌است که نقطه به نقطه تغییر رنگ می‌دهد، بنابراین ما با تغییر لحظه به لحظه و نقطه به نقطه در جهان طبیعت مواجه هستیم²

هر لحظه به شکلی بت عیار برآمد دل برد و نهان شد

هر دم به لباس دگر آن یار در آمد گه پیر و جوان شد

شیب خط یا شدت تغییرات تابع نسبت به تغییرات متغیر بین دو نقطه

علم حسابان به ارزیابی و تجزیه تحلیل تغییر و مدل‌سازی این تغییرات تمرکز و توجه دارد رابطه تابع و متغیر و بیان روابط آنها که به تابع شهرت دارد ،رابطه خوبی است ، ولی کافی نیست ،ما به ابزار جدیدی نیاز داریم ،لذا قبل از بیان آن ، یاد آوری شیب خط الزام آور است ،در شکل شماره ۱ خطی در محور مختصات رسم شده‌است تغییری را که نقطه B نسبت به A به ترتیب روی محور عمودی و افقی دارد اگر بر هم تقسیم کنیم شیب خط است . شیب خط نشان می‌دهد که تابع y چقدر به تغییر متغیر x حساس است میتوان آنرا با شیب ملایم وشیب تند جاده مقایسه کرد.

هرچه خط عمودی تر باشد شیب بیشتر است ،شیب بیشتر یعنی اینکه اندازه تغییرات نقطه ۲ درجهت محور عمودی نسبت به اندازه تغییرات روی محور افقی بیشتر است ماحصل کلام این است که تغییرات تابع نسبت به تغییرات متغیر حساس تر است ،یعنی اگر متغیر کمی تغییر کند ،تابع خیلی بیشتر نسبت به آن تغییر می‌کند وحساس است،شیب خط وسیله خوبی برای سنجش تغییر است و می‌شود گفت مثل یک وسیله اندازه‌گیری وسنجش است و انتخاب وگزینش آن به عنوان معیار تغییرات، از همه جهات حکیمانه و عالمانه بوده است .برای درک بهتر حالا به شکل شماره ۲ در زیر نگاه کنید ،محور عمودی نشانه مسافت پیموده‌شده ومحور افقی نشانه زمان طی شده مسافرت یک خودرو است که از شهر A حرکت می‌کند و به شهر B و سپس شهر C میزسد هر واحد روی محور عمودی ۱۰۰ کیلومتر وروی محور افقی برابر یک ساعت است حالا با توجه به ارقام روی دیاگرام متوجه خواهیم شدکه

سرعت متوسط برای رسیدن به شهر اول ۲۷۰/۱.۵ است که می‌شود ۱۸۰ کیلومتر در ساعت و سرعت متوسط برای رسیدن به شهر دوم ۲۰۰/۳ است که برابر است با تقریبا ۶۶.۷ کیلومتر در ساعت ،یعنی سرعت متوسط پیمایش تا شهر اول خیلی بیشتر ازپیمایش شهر دوم بوده‌است،بنابر‌این شیب خط، متوسط سرعت را نمایش می‌دهد ،حالا شما می‌توانید به راحتی با شیب خط مقایسه انجام بدهید وبگویید چون شیب خط اول بیشتر ازخط دوم است سرعت، یعنی تغییرات مسافت نسبت به زمان بیشتر بوده است ،ومعرفی شیب بعنوان مقیاس اندازه‌گیری تغییرات، قدم قابل توجهی است که عالمان علم ریاضی با آگاهی برگزیده‌‌ند زیرا می‌توان آنرا بعنوان مقیاس، یعنی وسیله‌ای برای مقایسه تغییرات بکار‌گرفت همانگونه که متر و درجه حرارت به عنوان مقیاس اندازه‌گیری بکار می‌رود،یعنی با تعیین شیب خط بعنوان واحد اندازه گیری تغییرات، اطلاق صفت بیشتر و کمتر معنی پیدا می‌کند.،اما این قدم موثری است ولی کافی نیست ،زیرا همانگونه که بیان شد تغییرات در طبیعت ما لحظه به لحظه و نقطه به نقطه است ما به ابزاری نیاز داریم که تغییرات را در یک نقطه منحنی نشان دهد،دراینجا به یک تناقض می‌رسیم زیرا برای یافتن شیب به دو نقطه نیاز است حالا چگونه آنرا در یک نقطه پیدا کنیم ؟،…راه‌حل این است که دو نقطه را خیلی خیلی بهم نزدیک کنیم .واین ترفند مفهومی را در ریاضی افزوده‌ است که به آن حد می‌گویند و در بخش بعدی توضیح داده می‌شود

مفهوم حد در ریاضی³

شیب دونقطه روی منحنی وقتی نقطه دوم به نقطه اول نزدیک شود

متوسط تغییرات منحنی قرمز رنگ ،بین نقطه AوB برابر شیب خط ABاست حالا اگر نقطه B روی منحنی بسمت A نزدیک شود شیب تغییر می‌کند در یک حالت میانی، به نقطه مثلا C می‌رسیم متوسط تغییرات منحنی در اینجا، شیب خط ACاست سر انجام وقتی خیلی خیلی به نقطه A نزدیک شویم شیب منحنی به شیب خط مماس نزدیک می‌شود ومی‌گوییم حد شیب منحنی وقتی به نقطه A نزدیک می‌شویم شیب خط مماس در آن نقطه‌است .یعنی در یک کلام، برای یافتن شدت تغییرات در یک نقطه از منحنی تابع، کافی‌است شیب خط مماس را در آن نقطه پیدا‌کنیم ،به این شیب خط مماس در یک نقطه از منحنی ،مشتق می‌گویند و فی‌الواقع مشتق شدت تغییرات یک تابع نسبت به تغییرات متغیر در یک نقطه از منحنی‌است ونشان می‌دهد یک تابع در یکی از نقاط خود چقدر نسبت به تغییرات متغیر حساس است و درجه حساسیت را نشان میدهد ترفندی که بکار برده شد این است که دو نقطه را آنقدر بهم نزدیک فرض می‌کنیم که بتوان آنرا تغییرات در یک نقطه تلقی کرد .در زیر علامت مشتق و فرایند انجام مشتق گرفتن بصورت نمادین نشان داده شده است ومشتق در واقع همان معیاری است که بدنبال آن بودیم و دانش حسابان بیشتر ثمره کار مشترک لایبنیتس و نیوتون بوده‌است همین توضیحات به زبان ریاضی در زیر بیان می‌شود دو نقطه بتدریج بهم نزدیک می‌شوند و در حد آنرا مشتق می‌گویند وشدت تغییرات در یک نقطه از منحنی تفسیر می‌شود

در رابطه زیر در سمت چپ علامت نمادین مشتق نشان داده شده که در واقع حد شیب دو نقطه است وقتی این دو نقطه نهایتا بهم نزدیک باشند در سمت راست رابطه مفهوم $\lim_{\Delta x\to 0}$ یعنی حد وقتی ${\Delta x}$ به سمت صفر نزدیک شود

\dot{y}=\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}

حالا برای اینکه شیب خط مماس یا همان مشتق را در یک نقطه از منحنی بدست بیاوریم به شکل شماره ۴ مراجعه می‌کنیم

برابر است باABشیب خط

\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

${\Delta x\to 0}$ درصورت نزدیک بودن دونقطه داریم

با قرار دادن این حالت در معادله بالا

\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

در رابطه بالا x نقطه دلخواه از منحنی اصلی است که می‌خواهیم شیب خط مماس را درآن پیدا‌کنیم اما ${\Delta x}$ متغیری است که می‌خواهیم ببینیم با کوچک شدنش، کسر سمت راست ،به چه حدی می‌رسد

گاهی بجای ${\Delta x}$ از حرف انگلیسی h استفاده می‌کنیم تا از اشتباه جلوگیری شود

\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

مثال ۱

شیب منحنی $y=x^3+3x+10$ را در نقطه دلخواه x بدست می‌آوریم

\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}

\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x+\Delta x)^3 + 3(x+\Delta x) + 10 – (x^3 + 3x + 10)}{\Delta x}

= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{x^3 + 3x^2\Delta x + 3x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 + 3x + 3\Delta x + 10 – (x^3 + 3x + 10)}{\Delta x}

= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x(3x^2 + 3x\Delta x + (\Delta x)^2 + 3)}{\Delta x}

در رابطه بالا مقدار ${\Delta x}$ می‌تواند از صورت و مخرج کسر حذف شود چون صفر نیست و فقط می‌تواند به صفر نزدیک شود بنا‌براین خواهیم داشت

\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \left[ 3x^2 + 3 + (3x + \Delta x)\Delta x \right]

در رابطه فوق همانطور که گفته شد متغیری که باید برحسب آن حد را حساب کنیم ${\Delta x}$ است نه x ،حالا در داخل کروشه جمله $3x^2+3$ ثابت در نظر گرفته می‌شود اگر بعنوان مثال آنراL بنامیم هرچه قدر بخواهیم می‌توانیم به آن نزدیک شویم بشرطی که بقیه جملات داخل کروشه بقدر کافی کوچک شود واین یعنی ما می‌توانیم خیلی خیلی بهL نزدیک شویم اگر $\Delta x$ خیلی خیلی کوچک شود و این همان تعریف حد است L همان حد مورد نظر است شیب خط مماس بر منحنی و یا مشتق منحنی در نقطه دلخواه x .در مثال فوق $3x^2+3$ مشتق است وخودش تابعی است که شیب تابع دیگر را در نقاط مختلف بیان می‌کند

خلاصه

به کمک مشتق ،از روند تغییر در امروز ،می‌توانیم آینده را پیش‌بینی کنیم امور زندگی را بهینه کنیم ،از لطمات و خسارات بکاهیم ودر مسیر بهتر سیر کنیم سه زیر بنای این شاخه از ریاضی در دیاگرام نمایش داده شده است

معروف است،، داریوش پادشاه هخامنشی برای هراکلیتوس نامه نوشت واو را به دربار خویش فرا‌خواند ولی او نپذیرفت ↩︎
بعدا بعضی از فلاسفه‌ای مثل پارامیندس وزنون بر خلاف هراکلیتوس بکلی منکر تغییر بودند و آنرا فریب می‌دانستند ↩︎
Limit ↩︎